Mes activités de recherche peuvent s'articuler autour de deux axes. Le premier concerne le développement de méthodes numériques pour la Mécanique. Le second, concerne la modélisation, et plus particulièrement, l'enrichissement de lois d'interface.
Méthodes de traitement du contact et du frottement en dynamique (DEA et Thèse)
Ces travaux, financés en totalité par RENAULT, avaient pour objet de développer des méthodes performantes de traitement du contact frottant dans la simulation numérique desprocédés d'emboutissage. Cela a abouti à l'élaboration d'un algorithme de traitement du contact frottant initialement appelé " méthode des équilibres successifs" et rebaptisé depuis " Non Smooth Contact Dynamics". On a montré que la robustesse de cet algorithme est fortement liée à l'introduction des effets dynamiques dans le modèle. Ils ont une contribution régularisante sur la résolution. Ce constat est appuyé par un théorème de convergence que nous avons établi à l'occasion de cette thèse. C'est le seul résultat théorique que l'on peut trouver pour ce type d'algorithme. Ce qui est intéressant, c'est que comme toute démarche de recherche c'est le fruit de longues observations. C'est en observant le comportement de l'algorithme qu'est apparue la clef de la preuve de la convergence. Cette dernière est liée au pas de temps de discrétisation au travers des effets dynamiques. Ces travaux ont fait l'objet de deux articles [a1], [a2] et cinq communications [ci1], [ci2], [ci3], [cn1], [cn2]
Méthode à grands incréments de temps
De 1998 à 2000 j'ai travaillé dans le cadre d'un contrat de recherche entre l'UTC, l'Université de Picardie Jules Verne (UPJV) et la région Picardie. Cette dernière à financé une étude, que nous avons proposée dans le pôle régional demodélisation, sur la simulation des procédés d'emboutissage et de découpage destôles. Nos travaux ont fait l'objet de deux publications [a3], [ci4]. La méthode LATIN est une méthode incrémentale non classique qui nécessite très peu d'incréments pour simuler le procédé dans sa totalité. Cependant, c'est une méthode itérative qui n'échappe pas non plus aux problèmes de convergence surtout lorsque l'on considère des structures en grandes déformations élasto-plastiques avec contact, frottement et endommagement. Ainsi, la méthode de régularisation dynamique est apparue intéressante pour surmonter ces obstacles. Une version dynamique de la méthode LATIN a été réalisée et une validation sur des exemples de découpage de tôle a fait l'objet d'un article [a3] et d'une communication [ci4]. L'approche adoptée est basée sur une formulation variationnelle à quatre champs des problèmes dynamiques en grandes déformations. Cette formulation est compatible avec les étapes successives de la méthode LATIN. Elle fait apparaître le couple (contrainte de Piola-Kirchhoff- gradient du déplacement) mais aussi un couple dual inhabituel (force d'inertie - déplacement). Les résultats que nous avons publiés sur le découpage des tôles, ont, entre autres, mis en évidence que le traitement du contact-frottant par une méthode de pénalité (méthode historiquement implantée dans le logiciel utilisé) est mal adapté à la dynamique.
Eléments finis Espace-Temps
Les travaux que j'ai réalisés sur la méthode à grands incréments de temps [a3],[ci4] m'ont amené à me pencher sur la méthode des éléments finis espace-temps. Il se trouve que ces deux méthodes sont relativement proches. Toutes les deux sont basées sur une formulation variationnelle dont le domaine d'intégration est l'espace-temps. La différence majeure entre ces deux approches réside dans lar eprésentation de inconnues. L'objectif de l'étude, réalisée dans le cadre de la thèse de L. Adélaïde, était multiple. Dans un premier temps, il s'agissait de résoudre des problèmes instationnaires linéaires (elastodynamiques) en utilisant la méthode des éléments finises pace-temps. L'objectif était de montrer l'efficacité de la méthode, en terme de précision, de rapidité et aussi la souplesse d'adaptabilité du maillage dans l'espace et dans le temps. Dans un second temps, il s'agissait de résoudre des problèmes nonlinéaires de contact et frottement. Des résultats ont été obtenus sur des exemples académiques et sur des exemples de contact avec frottement. Ces activités ont fait l'objet d'une thèse soutenue en décembre 2001, de deux articles dans des revues internationales [a4], [a5] et de deux communications internationales [ci5],[ci6].
Méthode d'approximations par fonctions constantes par morceaux
Cette activité est réalisée en collaboration avec C. Davini de l'Université de Udine (Italie). L'objectif est de développer une alternative aux approches dites "non conformes " en éléments finis. Il s'agit de substituer à la fonctionnelle issue du problème variationnel, une suite de fonctionnelles discrétisées quiconverge au sens de la Gamma-convergence vers cette dernière. La méthode est basée sur une approximation par des fonctions constantes par morceaux. Une validation numérique a été réalisée et un article a été publié [a7].
Usure
L'origine de ces travaux est due à des préoccupations Biomécaniques. Il s'agissait au départ de modéliser l'usure de prothèses de genoux, afin de pouvoir contrôler son évolution. La modélisation du phénomène est macroscopique. Cette étude est inspirée des travaux réalisés par Stromberg et Klarbring, mais dans un cadre plus général des grandes déformations. Comme dans la majorité des modèles proposés dans la littérature, ce modèle est construit autour de la loi d'usure d'Archard. Des résultats numériques ont été obtenus sur un exemple d'usure entre deux blocs en alliage chrome-cobalt et comparés a des résultats expérimentaux. Une articulation de genoux a été modélisée par éléments finis et une distribution de l'usure a pu être mise en évidence sur le plateau tibial. Cette étude a fait l'objet de deux articles dans des revues internationales [a6], [a9] et d'une communication nationale [cn3].
Ces travaux ont été généralisés au 3D par la modélisation de l'usure dans les prothèses de hanche. Ces travaux sont rassemblés dans l'article [a11].
Fragmentation du béton
Ces travaux ont été réalisés dans le cadre de la thèse de Hugues Roméro, que j'ai co-encadrée en collaboration avec le Laboratoire Energétique ExplosionsStructures (LEES) de Bourges. L'objectif de cette étude, d'origine industrielle, était d'obtenir une représentation de la rupture d'un élément de structure en béton armé, de type mur, sous l'action d'une explosion. Il s'agissait aussi, d'estimer les effets externes consécutifs à cette rupture, en évaluant les masses et les vitesses des fragments de bétons projetés. Pour cela, H. Roméro a dans un premier temps, estimé le chargement sous explosion par des méthodes expérimentales déterministes. Puis, nous avons développé, une modélisation du comportement du béton par l'intermédiaire d'éléments discrets cohésifs. Cette étude à fait l'objet d'une communication internationale [ci 10].
Loi de choc
Cette étude se place dans le cadre de la modélisation numérique des matériaux granulaires par des collections de solides rigides. Lorsque ces solides sont des disques ou des sphères, la loi de choc développée par J.J. Moreau reste bien adaptée. Elle est basée sur la donnée de deux coefficients de restitutions, un coefficient normal et tangentiel. Pour des solides de forme polygonale, nous avons proposé une loi de choc de type matricielle. Cette loi tient compte de la géométrie des solides et de l'angle d'impact. Pour l'instant, des résultats numériques ont été obtenus pour des solides de forme carré. Ces résultats ont été comparés à ceux obtenus par la méthode des éléments finis, appliquée à des carrés déformables. Ils montrent que cette loi matricielle est préférable. Cette étude à fait l'objet de deux communications internationales [ci7], [ci8].
Remodelage osseux
Les premières observations de remodelage osseux datent du 19ème siècle : l'architecture osseuse se modifie selon le chargement appliqué. Pour prédire la régénération de l'os, en particulier autour de fractures osseuses ou d'implants de prothèses, plusieurs lois de remodelage ont été proposées depuis. La difficulté de la modélisation, comme de l'expérimentation, vient de la complexité du système étudié : matériau poreux, saturé, vivant, environnement biologique, phénomènes couplés... Plusieurs propositions de la littérature prennent en compte l'influence de la phase fluide, mais il est difficile de distinguer la contribution apportée par la partie fluide, par les chargements mécaniques, par les couplages... Nous proposons, dans la thèse d'E. Malachanne d'utiliser un modèle poroélastique simple, de façon à discriminer la partie des couplages due à un effet de structure, des couplages d'états au niveau du comportement matériau. Le premier des paramètres poroélastiques à connaître est la perméabilité. Les valeurs de la littérature proviennent soit de données expérimentales, soit de calculs analytiques, soit de simulations numériques. Elles présentent selon les sources des ordres de grandeur différents souvent expliqués par des études à des échelles très différentes.
Pour notre étude, un dispositif expérimental a été développé pour mesurer la perméabilité hydraulique transverse macroscopique d'une tranche de fémur de bovin. Les mesures simultanées sont celles de la pression de l'eau interne, ainsi que du flux sortant à travers l'épaisseur de la partie corticale. L'essai est réalisé ainsi sur une mini-structure et pas sur un volume élémentaire représentatif, on a alors besoin d'une simulation numérique pour le dépouiller. Cette simulation réalisée à l'aide d'un code éléments finis a permis d'obtenir une valeur macro de perméabilité d'os cortical. Le résultat obtenu est du même ordre de grandeur que certaines des valeurs de Li et Zhang bien que les échelles d'études soient parfois différentes.
Bien entendu, la variabilité des caractéristiques ne permet ici d'atteindre qu'une valeur moyenne. Les résultats trouvés permettent de quantifier des ordres de grandeur des différents temps caractéristiques impliqués dans une modélisation fluide-structure couplée d'une structure osseuse. Ces travaux ont fait l'objet d'un article [a10] et d'une communication [cn4].
Propriétés thermomécaniques de la peau
Agir rapidement sur des brûlures corporelles, pour éviter la propagation des lésions due à la diffusion de la chaleur est un des objectifs à long terme de cette étude.
Afin de mieux comprendre le comportement thermomécanique de la peau et de son environnement direct sous l'action de fortes variations thermiques, nous présentons une étude expérimentale et numérique.
La démarche expérimentale, proposée dans la thèse de D. Ratovoson, consiste à poser une barre d'acier cylindrique préalablement refroidie sur la peau d'un avant-bras humain et de mesurer l'évolution de la température à l'aide d'une caméra infrarouge. Expérimentalement, nous avons constaté très nettement l'influence de la circulation sanguine dans les veines sur la diffusion de la température. Ces mesures expérimentales ont permis de construire un modèle numérique de la peau et de son environnement direct. Ce modèle bidimensionnel multicouches utilise l'équation de Pennes pour modéliser les tissus et l'équation de la chaleur dans un fluide, pour modéliser le comportement du sang. Les propriétés des matériaux sont tirées de la littérature et validées par notre expérimentation. Le modèle numérique permet de retrouver les mesures expérimentales, mais aussi d'accéder à la vitesse du sang dans les veines. C'est travaux ont été présentés au 19ème congrès Français de Mécanique [cn5].
